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设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有极限，则下列说法正确的是（ ）
A. $f(x)$ 在 $x=x_0$ 连续
B. $f(x)$ 在 $x=x_0$ 有定义
C. $f(x)$ 在 $x=x_0$ 无定义
D. 无法判断 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处是否有定义
答案：D
解析：函数在某点有极限，只要求在该点的去心邻域内有定义，与该点本身是否有定义无关。
例如：$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处无定义，但极限存在（为2）；$f(x)=x$ 在 $x=1$ 处有定义且极限存在。
因此无法判断 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处是否有定义。
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函数 $f(x)=\begin{cases} 2x^2-1, & 0 < x < 1 \\ 2-x^3, & 1 < x \le 3 \end{cases}$ 在（ ）时极限为1
A. $x \to \frac{3}{2}$
B. $x \to 1$
C. $x \to 2$
D. $x \to \frac{1}{2}$
答案：B
解析：$\lim_{x \to 1^-}(2x^2-1)=1$，$\lim_{x \to 1^+}(2-x^3)=1$。
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$\displaystyle\lim_{x \to 0} \arctan\frac{1}{x} = $（ ）
A. $\frac{\pi}{2}$
B. $-\frac{\pi}{2}$
C. $\frac{\pi}{2}$ 或 $-\frac{\pi}{2}$
D. 不存在
答案：D
解析：需要分别计算左右极限：
当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，$\arctan\frac{1}{x} \to \frac{\pi}{2}$
当 $x \to 0^-$ 时，$\frac{1}{x} \to -\infty$，$\arctan\frac{1}{x} \to -\frac{\pi}{2}$
左右极限不相等，故极限不存在。
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$\displaystyle\lim_{x \to 1} e^{\frac{1}{1-x}} = $（ ）
A. $0$
B. $+\infty$
C. 不存在
D. 无法判断
答案：C
解析：分别计算左右极限：
当 $x \to 1^+$ 时，$1-x \to 0^-$，$\frac{1}{1-x} \to -\infty$，$e^{\frac{1}{1-x}} \to 0$
当 $x \to 1^-$ 时，$1-x \to 0^+$，$\frac{1}{1-x} \to +\infty$，$e^{\frac{1}{1-x}} \to +\infty$
左右极限不相等，故极限不存在。
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$x \to 1$ 时，下列为无穷小量的是（ ）
A. $x^2-2$
B. $\ln x$
C. $\frac{2}{1+x}$
D. $x\cos x$
答案：B
解析：无穷小量是指极限为0的量。
A. $\lim_{x \to 1}(x^2-2) = 1-2 = -1 \ne 0$
B. $\lim_{x \to 1}\ln x = \ln 1 = 0$ ✓
C. $\lim_{x \to 1}\frac{2}{1+x} = \frac{2}{2} = 1 \ne 0$
D. $\lim_{x \to 1}x\cos x = \cos 1 \ne 0$
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下列说法正确的是（ ）
A. $0.00001$ 是无穷小量
B. $-\infty$ 是无穷小量
C. $f(x)$ 为无穷大量，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小量
D. $f(x)$ 为无穷小量，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大量
答案：C
解析：无穷小量是**变化过程中**极限为0的变量，不是绝对值很小的常数。
A. $0.00001$ 是常数，不是无穷小量。
B. $-\infty$ 是无穷大量，不是无穷小量。
C. 正确。无穷大量的倒数是无穷小量。
D. 错误。需要加条件 $f(x) \ne 0$。若 $f(x)=0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 无意义。
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下列计算中，不正确的是（ ）
A. $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$
B. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\sin x = 0$
C. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(x\sin\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\sin x\right) = 0$
D. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x}\sin x+x\sin\frac{1}{x}\right) = 1$
答案：C
解析：逐项分析：
A. 正确。有界函数 $\sin\frac{1}{x}$ 乘以无穷小 $x$，结果为0。
B. 正确。有界函数 $\sin x$ 乘以无穷小 $\frac{1}{x}$，结果为0。
C. **错误**。$\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$，但 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，所以和为 $0+1=1 \ne 0$。
D. 正确。$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$，令 $t=\frac{1}{x}$，则 $\lim_{x \to \infty} x\sin\frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$，和为 $0+1=1$。
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极限 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\arctan x}{x} = $（ ）
A. $1$
B. $0$
C. $2$
D. 不存在
答案：B
解析：当 $x \to \infty$ 时，$\arctan x$ 是有界函数（$|\arctan x| < \frac{\pi}{2}$），而 $\frac{1}{x}$ 是无穷小量。
有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量，故极限为0。
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极限 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \arctan\frac{2x+1}{3} = $（ ）
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $\frac{\pi}{4}$
答案：D
解析：$\arctan u$ 是连续函数，可直接代入。
原式 $= \arctan\frac{2(1)+1}{3} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$。
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极限 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2-2n+1} = $（ ）
A. $0$
B. $\infty$
C. $1$
D. 不存在
答案：A
解析：分子为一次多项式，分母为二次多项式。
分子分母同除以 $n^2$：
原式 $= \displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}} = \frac{0+0}{1-0+0} = 0$。
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$\displaystyle\lim_{x \to 0} \left[(1+x)^x+(1+x)^{\frac{1}{x}}\right] = $（ ）
A. $1+e$
B. $e$
C. $1$
D. $2e$
答案：A
解析：分别计算两项：
第一项：$\lim_{x \to 0} (1+x)^x = (1+0)^0 = 1^0 = 1$（连续函数直接代入）
第二项：$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$（重要极限）
原式 $= 1 + e$。
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$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x+1}{2x-1}\right)^x = $（ ）
A. $0$
B. $e$
C. $e^{-1}$
D. $e^2$
答案：B
解析：变形为重要极限形式：
$\frac{2x+1}{2x-1} = \frac{2x-1+2}{2x-1} = 1 + \frac{2}{2x-1} = 1 + \frac{1}{x-\frac{1}{2}}$
令 $t = x-\frac{1}{2}$，则 $x = t+\frac{1}{2}$，当 $x \to \infty$ 时 $t \to \infty$。
原式 $= \displaystyle\lim_{t \to \infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)^{t+\frac{1}{2}} = \lim_{t \to \infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)^t \cdot \left(1+\frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{2}} = e \cdot 1 = e$。
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下列计算中，错误的是（ ）
A. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{(1+\cos x)x^2} = \frac{1}{2}$
B. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3} = \frac{1}{6}$
C. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos x-1}{x\tan x} = -\frac{1}{2}$
D. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x^2}{x-\sin x} = 0$
答案：D
解析：逐项验证：
A. 正确。$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \frac{1}{1+\cos x} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
B. 正确。泰勒展开：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，所以 $x-\sin x \sim \frac{x^3}{6}$，极限为 $\frac{1}{6}$。
C. 正确。$\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$，$\tan x \sim x$，所以 $\frac{-\frac{x^2}{2}}{x \cdot x} = -\frac{1}{2}$。
D. **错误**。$\arcsin 2x^2 \sim 2x^2$，$x-\sin x \sim \frac{x^3}{6}$，所以极限 $= \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{\frac{x^3}{6}} = \lim_{x \to 0} \frac{12}{x} = \infty \ne 0$。
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当 $x \to 0$ 时，下列无穷小量中，最高阶的是（ ）
A. $x\sin x^2$
B. $2x\arctan^2 x$
C. $x(x-\sin x)$
D. $1-\cos 2x$
答案：C
解析：确定各选项的阶数（与 $x^k$ 同阶）：
A. $x\sin x^2 \sim x \cdot x^2 = x^3$，三阶
B. $2x\arctan^2 x \sim 2x \cdot x^2 = 2x^3$，三阶
C. $x(x-\sin x) \sim x \cdot \frac{x^3}{6} = \frac{x^4}{6}$，四阶（最高阶）
D. $1-\cos 2x \sim \frac{(2x)^2}{2} = 2x^2$，二阶
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$x \to 0$ 时，下列与 $x^2$ 为同阶无穷小的是（ ）
A. $\sqrt{1+2x}-1$
B. $\cos x-1$
C. $x\tan x^2$
D. $x^3+x^2\sin x$
答案：B
解析：同阶无穷小要求比值的极限为非零常数。
A. $\sqrt{1+2x}-1 \sim \frac{2x}{2} = x$，与 $x$ 同阶（一阶）
B. $\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$，与 $x^2$ 同阶（二阶）✓
C. $x\tan x^2 \sim x \cdot x^2 = x^3$，三阶
D. $x^3+x^2\sin x = x^2(x+\sin x) \sim x^2 \cdot 2x = 2x^3$，三阶
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当 $x \to 0$ 时，$x\sin ax^2$ 和 $\sqrt{1-x^3}-1$ 是等价无穷小，则 $a = $（ ）
A. $0$
B. $1$
C. $\frac{1}{2}$
D. $-\frac{1}{2}$
答案：D
解析：等价无穷小要求比值的极限为1。
$x\sin ax^2 \sim x \cdot ax^2 = ax^3$
$\sqrt{1-x^3}-1 \sim \frac{-x^3}{2} = -\frac{1}{2}x^3$
由 $\lim_{x \to 0} \frac{ax^3}{-\frac{1}{2}x^3} = -2a = 1$，得 $a = -\frac{1}{2}$。